Revisão de Frações, Potências, Radicais e Logaritmos

Frações – a linguagem da proporção

O que é uma fração?

Uma fração representa a razão entre duas quantidades:

$\frac{a}{b}, \qquad b \neq 0$

Simplificação e equivalência

$\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}$

Operações fundamentais

$\item \textbf{Soma/Subtração (denominadores iguais):}\;$\displaystyle \frac{p}{q} \pm \frac{r}{q} = \frac{p \pm r}{q}$\item \textbf{Soma/Subtração (denominadores diferentes):}\;$\displaystyle \frac34 + \frac58 = \frac68 + \frac58 = \frac{11}{8}$\item \textbf{Multiplicação:}\;$\displaystyle \frac25 \cdot \frac37 = \frac{6}{35}$\item \textbf{Divisão:}\;$\displaystyle \frac25 \div \frac37 = \frac25 \cdot \frac73 = \frac{14}{15}$\end{itemize}$

Potências – rapidez para multiplicações repetidas

Definição

$a^{n} \;=\; \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n\text{ vezes}}$

Propriedades essenciais

$\item $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$\item $\displaystyle \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}, \qquad a \neq 0$\item $(a^{m})^{n} = a^{m n}$\item $a^{0} = 1$, \quad $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$$

Radicais – a operação inversa da potência

Notação e conceito

$\sqrt[n]{a} \;=\; a^{1/n}\qquad\bigl(\text{ex.: } \sqrt[3]{8} = 2\bigr)$

Propriedades úteis

$\item $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}$\item $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}$\item $\displaystyle \sqrt[n]{\frac{a}{b}}= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}, \qquad b>0$\end{itemize}$

Logaritmos – potências “às avessas”

Definição formal

$\log_{b} a = c \;\;\Longleftrightarrow\;\;b^{\,c} = a, \quad b>0,\, b\neq 1,\, a>0$

Propriedades indispensáveis

$\item $\log_{b}(MN) = \log_{b} M + \log_{b} N$\item $\displaystyle \log_{b}\Bigl(\frac{M}{N}\Bigr)= \log_{b} M - \log_{b} N$\item $\log_{b}(M^{k}) = k\,\log_{b} M$\item Mudança de base:\;$\displaystyle\log_{b} a \;=\;\frac{\log_{k} a}{\log_{k} b}$$

Auto–check rápido

Simplifique

$\frac{45}{60}$

Calcule

$\item $(2^{3})^{2}$$

Converta em potência

$\item $\sqrt[4]{x^{3}}$$

Resolva

$\item $\log_{2}(32)$$

Gabarito

$\item $\dfrac{3}{4}$\item $64$\item $x^{3/4}$\item $5$$

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