Modelagem de Fenômenos Físicos com Cálculo

Introdução

Você já se perguntou como a matemática descreve o mundo físico? Desde o movimento de um pêndulo até o escoamento de água em um tanque, o Cálculo Diferencial e Integral é a ferramenta essencial para modelar fenômenos reais com precisão.

Neste post, vamos entender como algumas equações surgem a partir das leis da física e como o cálculo nos ajuda a traduzir fenômenos físicos em expressões matemáticas. Vamos ver isso em duas situações clássicas: o movimento de um pêndulo simples e o escoamento de um fluido por um orifício.

1. O Pêndulo Simples e a Série de Taylor

Vamos começar com um dos sistemas físicos mais estudados na física e na engenharia: o pêndulo simples.

Imagine uma massa $m$ presa a um fio inextensível de comprimento $L$ , oscilando em um plano vertical, sob a ação da gravidade. Ignorando o atrito do ar e o atrito no ponto de fixação, podemos aplicar a Segunda Lei de Newton:

$\sum_{}^{}\tau=I\alpha$

Como o torque em relação ao ponto de fixação é:

$\tau=-mgLsen(\theta)$

E o momento de inércia de uma partícula é $I=mL^2$ temos:

$-mgLsen(\theta)=m L^2\frac{d^2 \theta}{dt^2}$

Simplificando:

$\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{L}sen(\theta)=0$

Essa é uma equação não linear. Para torná-la mais simples, usamos a aproximação para pequenos ângulos:

$sen(\theta)=\theta$

quando $\theta < 15^o$ .

Substituindo:

$\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{L}\theta=0$

Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem, cuja solução é uma função harmônica (seno ou cosseno). Isso mostra como o Cálculo nos permite simplificar um sistema real e obter soluções analíticas que descrevem bem o comportamento físico.

2. Tanque Cilíndrico e o Escoamento de Fluido

Agora, vamos analisar um exemplo de Mecânica dos Fluidos: um tanque cilíndrico vertical, com altura $H$ de líquido e um orifício circular de diâmetro $d$ na base.

Usamos a Equação de Bernoulli entre a superfície livre do fluido e a saída:

$\frac{v^2}{2}=gH$

Consequentemente:

$v=\sqrt{2gH}$

Mas conforme o líquido escoa, a altura $H$ varia com o tempo $t$ , e a velocidade na saída também varia.

A vazão (volume por tempo) é:

$Q=Av=\frac{\pi d^2}{4}\sqrt{2gH(t)}$

A variação de altura $H(t)$ depende da taxa de saída do volume. Aplicamos a conservação de massa:

$\frac{dV}{dt}=-Q$

Onde $V$ é o volume do tanque.

Isso implica que:

$A_{tanque}\frac{dH}{dt}=-\frac{\pi d^2}{4}\sqrt{2gH}$

Isolando $\frac{dH}{dt}$ :

$\frac{dH}{dt}=-\frac{\pi d^2}{4 A_{tanque}}\sqrt{2gH}$

Derivando a equação da velocidade na saída em função do tempo:

$v(t)=\sqrt{2gH(t)}$

Obtendo-se:

$\frac{dv}{dt}=\frac{g}{\sqrt{2gH}}.\frac{dH}{dt}$

Substituindo $\frac{dH}{dt}$ :

$\frac{dv}{dt}=-\frac{g}{\sqrt{2gH}}.\frac{\pi d^2}{4 A_{tanque}}.\sqrt{2gH}=-\frac{\pi g d^2}{4 A_{tanque}}$

Observe que $\frac{dv}{dt}$ é constante e negativa, ou seja, a velocidade decresce linearmente com o tempo. Para que a velocidade inicial seja máxima, o ideal é que o diâmetro $d$ da saída seja o maior possível, desde que respeite as condições do tanque.

Logo, a relação entre o diâmetro $d$ e a altura inicial $H_0$ define a vazão inicial, e isso impacta diretamente na aplicação prática, por exemplo, no tempo necessário para esvaziar o tanque.

Conclusão

Através desses dois exemplos — o pêndulo simples e o escoamento de fluido — vimos como o Cálculo nos permite modelar fenômenos físicos e obter informações fundamentais sobre o comportamento dos sistemas.

Esses modelos matemáticos não apenas explicam o mundo à nossa volta, como também fundamentam toda a engenharia moderna.

Se você está começando agora no mundo do cálculo e da engenharia, saiba que aprender como modelar o mundo com equações é uma das habilidades mais poderosas que você pode adquirir!

Modelagem de Fenômenos Físicos com Cálculo